Bài viết phía dẫn phương thức ứng dụng tích phân nhằm tính thể tích vật dụng thể (gồm thiết bị thể số lượng giới hạn bởi các mặt phẳng cùng vật thể tròn xoay) trải qua lý thuyết, công thức tính, các bước giải toán cùng ví dụ minh họa có giải thuật chi tiết.

Bạn đang xem: Ứng dụng tích phân tính thể tích

Kiến thức phải nắm:1. Thể tích của vật dụng thểGiả sử đồ vật thể $T$ được số lượng giới hạn bởi nhì mặt phẳng tuy nhiên song $(alpha )$, $(eta )$. Ta lựa chọn trục $Ox$ sao cho:$left{ eginarraylOx ot (alpha ) \Ox ot (eta )endarray ight.$ và mang sử $left{ eginarraylOx cap (alpha ) = a\Ox cap (eta ) = bendarray ight.$Giả sử mặt phẳng $(gamma ) cap Ox$ và $(gamma ) cap Ox = xleft( a le x le b ight)$ cắt $T$ theo một thiết diện bao gồm diện tích $Sleft( x ight)$ (là hàm số liên tiếp theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của thứ thể $T$ được cho vì công thức: $V = intlimits_a^b S(x)dx .$

2. Thể tích của đồ gia dụng thể tròn xoaya. Cho hàm số $y = fleft( x ight)$ liên tục và không âm bên trên đoạn $left< a;b ight>$. Thể tích của đồ vật thể tròn chuyển phiên sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho do công thức: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$b. Cho hàm số $x = fleft( y ight)$ liên tục và không âm trên đoạn $left< a;b ight>$. Tính thể tích đồ dùng thể tròn luân chuyển sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay xung quanh trục $Oy$ được cho vị công thức: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$

3. Thể tích khối nón với khối chóp, khối nón cụt cùng khối cầua. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích s đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được mang đến bởi $V = frac13Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích s hai đáy là $B_1$, $B_2$ và chiều cao $h$ được mang đến bởi: $V = frac13(B_1 + m B_2 + sqrt B_1..B_2 )h.$b. Thể tích của khối cầu có buôn bán kính $R$ được cho bởi: $V = frac43pi R^3.$

Dạng toán 1: Tính thể tích thứ thểPhương pháp: Thực hiện tại theo hai bước:+ Bước 1: xác định công thức tính diện tích s thiết diện $Sleft( x ight)$ (hoặc $Sleft( y ight)$) thông thường chúng ta gặp thiết diện là những hình cơ bản.+ Bước 2: khi đó: $V = intlimits_a^b S(x)dx $ (hoặc $V = intlimits_a^b S(y)dy $).

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể:a. Nằm thân hai phương diện phẳng $x = 0$ và $x = fracpi 2$, biết rằng tiết diện của thứ thể bị giảm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm gồm hoành độ $x$ $left( 0 le x le fracpi 2 ight)$ là một hình vuông vắn cạnh $sqrt sin ^3x .$b. Nằm giữa hai phương diện phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng tiết diện của thứ thể bị giảm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ trên điểm bao gồm hoành độ $x$ $left( 1 le x le 4 ight)$ là một tam giác phần đông cạnh là $sqrt x – 1.$

a. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được đến bởi:$Sleft( x ight) = left( sqrt sin ^3x ight)^2$ $ = m sin^3x$ $ = frac14left( 3sin x – sin 3x ight) .$Khi đó, thể tích trang bị thể được mang đến bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = frac14intlimits_0^pi /2 left( 3sin x – sin 3x ight)dx $ $ = frac14left( – 3cos x + frac13cos 3x ight)left| eginarraylpi /2\0endarray ight.$ $ = frac23.$b. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được đến bởi:$Sleft( x ight) = fracsqrt 3 4left( sqrt x – 1 ight)^2$ $ = fracsqrt 3 4left( x – 2sqrt x + 1 ight).$Khi đó, thể tích thiết bị thể được đến bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = fracsqrt 3 4intlimits_1^4 left( x – 2sqrt x + 1 ight)dx $ $ = fracsqrt 3 4left( frac12x^2 – frac43x^frac32 + x ight)left| _1^4 ight.$ $ = frac7sqrt 3 24.$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các thể tích đồ thể trên:+ Ở câu 1.a vày thiết diện là hình vuông vắn (giả sử cạnh bằng $a$) đề xuất ta có ngay $S = a^2$.+ Ở câu 1.b bởi thiết diện là tam giác những (giả sử cạnh bởi $a$) buộc phải ta bao gồm ngay $S = fraca^2sqrt 3 4.$Dạng toán 2: Tính thể tích vật dụng thể tròn luân chuyển dạng 1Phương pháp: Ta bao gồm hai dạng sau:+ Dạng 1: công thức tính thể tích thứ thể tròn luân phiên sinh do miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$+ Dạng 2: phương pháp tính thể tích đồ gia dụng thể tròn xoay sinh vì chưng miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$

Chú ý: Trong một số trường hợp chúng ta cần tìm cận $a$, $b$ thông qua việc tùy chỉnh thiết lập điều kiện ko âm mang lại hàm số $fleft( x ight)$ (hoặc $f(y)$).

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra thành khi:a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = e^x$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = 3.$b. Quay quanh trục tung một hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = 3 – x^2$, trục tung và con đường thẳng $y = 1.$

a. Thể tích đồ vật thể được mang đến bởi: $V = pi intlimits_0^3 y^2dx $ $ = pi intlimits_0^3 e^2xdx $ $ = fracpi 2e^2xleft| _0^3 ight.$ $ = fracpi 2(e^6 – 1).$b. Biến thay đổi hàm số về dạng: $y = 3 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 3 – y$ (cần bao gồm điều kiện $3 – y ge 0$ $ Leftrightarrow y le 3$).Khi đó, thể tích thứ thể được mang lại bởi: $V = pi intlimits_1^3 x^2dy $ $ = pi intlimits_1^3 (3 – y)dy $ $ = pi left( 3y – fracy^22 ight)left| _1^3 ight.$ $ = 2pi .$

Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích khối tròn luân phiên trên:+ Ở câu 2.a họ sử dụng ngay công thức trong dạng 1.+ Ở câu 2.b chúng ta cần thực thêm công việc đổi khác hàm số về dạng $x = fleft( y ight)$ và ở đây nhờ điều kiện có nghĩa của $y$ chúng ta nhận ra cận $y = 3.$

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay khiến cho khi ta tảo hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = m y = 0;y = sqrt 1 + cos ^4x + sin ^4x ;$ $x = fracpi 2;x = pi m .$b. $H = m y = 0;y = sqrt cos ^6x + sin ^6x ;$ $x = 0;x = fracpi 2 m .$

a. Thể tích thứ tròn xoay yêu cầu tính được đến bởi:$V = pi intlimits_pi /2^pi (1 + cos ^4x + sin ^4x) dx$ $ = pi intlimits_pi /2^pi (frac7 – cos 4x4)dx $ $ = pi left( frac74x – frac116sin 4x ight)left| eginarraylpi \pi /2endarray ight.$ $ = frac78pi ^2$ (đvtt).b. Thể tích đồ vật thể tròn xoay buộc phải tính là:$V = pi intlimits_0^pi /2 (cos ^6x + sin ^6x)dx$ $ = pi intlimits_0^pi /2 (1 – frac34sin ^22x)dx $ $ = pi intlimits_0^pi /2 (frac58 + frac38cos 4x)dx $ $ = pi left( frac58x + frac332sin 4x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight.$ $ = frac5pi ^216$ (đvtt).

Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta tảo hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = left y = 3ax – x^2left( a > 0 ight),y = 0 ight.$b. $H = left y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e ight.$

a. Phương trình hoành độ giao điểm của $left( p. ight)$ và $Ox$ là:$3ax – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$Khi đó, thể tích cần khẳng định được cho bởi:$V = pi intlimits_0^3a (3ax – x^2)^2dx $ $ = pi intlimits_0^3a (x^4 – 6ax^3 + 9a^2x^2)dx $ $ = pi left( frac15x^5 – frac3a2x^4 + 3a^2x^3 ight)left| eginarrayl3a\0endarray ight.$ $ = frac81a^5pi 10$ (đvtt).b. Thể tích trang bị thể tròn xoay yêu cầu tính là:$V = pi intlimits_1^e (xln x)^2 dx$ $ = pi intlimits_1^e x^2ln ^2x dx.$Để tính tích phân bên trên ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:$left{ eginarraylu = ln ^2x\dv = x^2dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac2xln xdx\v = frac13x^3endarray ight.$Khi đó: $V = pi left( frac13x^3ln ^2x ight)left| eginarrayle\1endarray ight.$ $ – frac2pi 3intlimits_1^e x^2ln x dx$ $ = fracpi e^33 – frac2pi 3underbrace intlimits_1^e x^2ln x dx_I$ $(1).$Xét tích phân $I$, đặt:$left{ eginarraylu = ln x\dv = x^2dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac1xdx\v = frac13x^3endarray ight.$Khi đó: $I = frac13x^3lnxleft| _1^e ight. – frac13 intlimits_1^e x^2dx $ $ = frace^33 – frac19x^3left| _1^e ight.$ $ = frac2e^39 + frac19$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = fracpi (5e^3 – 2)27$ (đvtt).

Xem thêm: Đăng Ký Bán Hàng Trên Shopee Mall, Shopee Mall Là Gì

Dạng toán 3: Tính thể tích đồ vật thể tròn luân chuyển dạng 2Phương pháp: Ta tất cả hai dạng sau:+ Dạng 1: cách làm tính thể tích thiết bị thể tròn chuyển phiên sinh vì chưng miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$ quay quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b left .$+ Dạng 2: bí quyết tính thể tích vật dụng thể tròn xoay sinh vì chưng miền $left( D ight)$ giới hạn vì $x = fleft( y ight)$, $x = gleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$ quay xung quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b left .$

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay chế tạo thành khi:a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 2 – x^2.$b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi vật thị nhị hàm số $y = x$ và $y = 2 – x^2.$

a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x^2 = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 1$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Thể tích vật tròn xoay bắt buộc tính là:$V = pi intlimits_ – 1^1 dx $ $ = pi intlimits_ – 1^1 4x^2 – 4 ight $ $ = 4pi intlimits_ – 1^1 (1 – x^2)dx $ $ = 4pi left( x – fracx^33 ight)left| _ – 1^1 ight.$ $ = frac16pi 3.$b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 + x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 1 Rightarrow y = 1\x = -2 Rightarrow y = -2endarray ight.$Thể tích đồ thể được mang lại bởi:$V = pi intlimits_ – 2^1 y^2 – left( 2 – y ight) ight $ $ = frac92pi .$

Ví dụ 6: Cho hình tròn $left( C ight)$ tâm $Ileft( 0;2 ight)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay chế tác thành khi:a. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Ox$.b. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$.

Đường tròn $(C)$ có phương trình: $left( C ight):x^2 + (y – 2)^2 = 1.$

*

a. Ta có:Ta phân chia đường tròn $(C)$ thành $2$ con đường cong như sau:+ Nửa $left( C ight)$ ở bên trên ứng với $2 le y le 3$ gồm phương trình: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.+ Nửa $left( C ight)$ ở dưới ứng với $1 le y le 2$ bao gồm phương trình: $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.Khi đó, thể tích vật dụng thể tròn xoay phải tính được sinh bởi hình tròn trụ $(C)$ số lượng giới hạn bởi các đường: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $, $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $, $x = -1$, $x = 1$ quay quanh $Ox$ được xem theo công thức: $V = pi intlimits_ – 1^1 f_1^2left( x ight) – f_2^2left( x ight) ight dx$ $ = 8pi intlimits_ – 1^1 sqrt 1 – x^2 dx$ $ = 4pi ^2.$b. Khi quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$ ta nhận ra khối tròn xoay chính là hình cầu bán kính $R = 1$, vì chưng đó: $V = frac43pi R^3$ $ = frac43pi .$

Ví dụ 7: Tính thể tích thứ thể tạo vị hình elip $left( E ight):fracleft( x – 4 ight)^24 + fracy^216 le 1$ quay xung quanh trục $Oy.$

Elip $left( E ight)$ có tâm $Ileft( 4,0 ight)$, trục lớn tất cả độ dài $2a = 8$, trục nhỏ có độ dài $2b = 4.$

*

Ta chia đường giáp ranh biên giới của elip $(E)$ thành $2$ đường cong như sau:+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $2 le x le 4$ có phương trình: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $4 le x le 6$ có phương trình: $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$Thể tích thiết bị thể tròn xoay phải tính được sinh do miền $E$ số lượng giới hạn bởi các đường: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $, $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $, $y = -4$, $y = 4$ quay quanh trục $Oy$ được xem theo công thức:$V = pi intlimits_ – 4^4 left( f_2^2(y) – f_1^2(y) ight) dy$ $ = 32pi intlimits_ – 4^4 sqrt 1 – fracy^216 dy$ $ = 64pi ^2.$