TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG LỚP 11

Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng $a"$, $b"$ lần lượt song song với a với b. Ta nhận biết rằng lúc điểm O biến đổi thì góc thân 2 mặt đường thẳng $a"$ cùng $b"$ không cụ đổi.

Bạn đang xem: Tính góc giữa hai đường thẳng lớp 11

Do đó ta tất cả định nghĩa:

Định nghĩa:Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 con đường thẳng $a"$ với $b"$ thuộc đi qua 1 điểm với lần lượt tuy nhiên song với a và b.

2. Cách xác minh góc giữa hai đường thẳng

Để khẳng định góc giữa 2 đường thẳng a cùng b ta rất có thể lấy điểm O thuộc 1 trong các hai con đường thẳng kia rồi vẽ một mặt đường thẳng qua O và song song với con đường thẳng còn lại.

Nếu $overrightarrowu$ là vecto chỉ phương của con đường thẳng a và $overrightarrowv$ là vecto chỉ phương của đường thẳng b và $left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)=alpha $ thì góc giữa 2 đường thẳng a cùng b bởi $alpha $ nếu như $0le alpha le 90^circ $ và bởi $180^circ -alpha $ giả dụ $90^circ Bài tập 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác phần lớn cạnh a, $SAot left( ABC ight)$ cùng $SA=asqrt3$.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB cùng SC. Tính cosin góc giữa hai tuyến phố thẳng AN với CM.

Lời giải bỏ ra tiết

Cách 1:Dựng hình bình hành AMCE suy ra $AM=CE=fraca2$.

Khi kia $AE//CMRightarrow left( widehatAE;CM ight)=left( widehatAN;AE ight)=varphi .$

Mặt không giống $SC=sqrtSA^2+AC^2=2aRightarrow $ độ dài mặt đường trung đường AN là $AN=fracSC2=a.AE=CM=fracasqrt32.$

Do $Delta ABC$ đều yêu cầu $CMot AMRightarrow $ AMCE là hình chữ nhật.

Khi kia $CEot AE$ mà lại $CEot SARightarrow CEot left( SAE ight)Rightarrow CEot SE.$

$Delta SEC$ vuông trên E bao gồm đường trung con đường $EN=frac12SC=a.$

Ta có: $cos widehatNAE=fracAN^2+AE^2-NE^22.AN.AE=fracsqrt34>0Rightarrow cos varphi =fracsqrt34.$

Cách 2:Ta có: $overrightarrowAN=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight);overrightarrowCM=overrightarrowAM-overrightarrowAC=frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC.$

Khi đó $overrightarrowAN.overrightarrowCM=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight)left( frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC ight)=frac14overrightarrowAB.overrightarrowAC-frac12AC^2=frac14a^2cos 60^circ -fraca^22=frac-3a^28.$

Lại có: $AN=fracSC2=a;CM=fracasqrt32Rightarrow cos varphi =fraclefta.fracasqrt32=fracsqrt34.$

Bình luận:Dựa vào hai biện pháp làm bên trên ta thấy rằng, trong một số trong những trường hợp, việc áp dụng công nắm vectơ nhằm tính góc giữa hai tuyến đường thẳng giúp vấn đề trở bắt buộc dễ ràng hơn vô cùng nhiều!.

Lời giải bỏ ra tiết

Cách 1:Gọi M, N, p. Lần lượt là trung điểm của SA, SB với AC. Khi đó $left{ eginarray MP//SC \ N//AB \ endarray ight.Rightarrow left( widehatSC;AB ight)=left( widehatMP;MN ight).$

Ta có: $MN=fracAB2=fraca2;MP=fracSC2=fraca2.$

Mặt khác $Delta SAC$ vuông trên S $Rightarrow SP=fracAC2=fracasqrt22.$

$BP^2=fracBA^2+BC^22-fracAC^24=frac32a^2Rightarrow BP=fracasqrt62.$

Suy ra $PN^2=fracPS^2+PB^22-fracSB^24=frac3a^24Rightarrow NP=fracasqrt32.$

Khi đó $cos widehatNMP=fracMN^2+MP^2-NP^22.MN.MP=-frac12Rightarrow widehatNMP=120^circ Rightarrow varphi =left( widehatSC;AB ight)=60^circ .$

Cách 2:Ta có: $overrightarrowAB=overrightarrowSB-overrightarrowSARightarrow overrightarrowAB.overrightarrowSC=left( overrightarrowSB-overrightarrowSA ight).overrightarrowSC=overrightarrowSB.overrightarrowSC-overrightarrowSA.overrightarrowSC$

$=frac12left( SB^2+SC^2-AC^2 ight)-frac12left( SA^2+SC^2-AB^2 ight)=-fraca^22.$

Suy ra $cos left( SC;AB ight)=fraca.a=frac12Rightarrow left( SC;AB ight)=60^circ .$

Lời giải bỏ ra tiết

Ta có: $overrightarrowBC.overrightarrowDA ext = ext overrightarrowBCleft( overrightarrowDC+overrightarrowCD ight)=overrightarrowCB.overrightarrowCD-overrightarrowCB.overrightarrowCD$

$=frac12left( CB^2+CD^2-BD^2 ight)-frac12left( CB^2+CA^2-AB^2 ight)=frac12left( AB^2+CD^2-BD^2-CA^2 ight).$

Khi kia $cos left( BC;DA ight)=fracleftBC.DA=fracx_1^2+x_2^2+y_1^2-y_2^22z_1z_2.$

Đặc biệt:Nếu $AB=CD=x;AC=BD=y$ và $BC=AD=z$ ta để $left{ eginarray alpha =left( widehatBC;AD ight) \ eta =left( widehatAB;CD ight) \ gamma =left( widehatAC;BD ight) \ endarray ight.$ thì ta có:

$cos alpha =fracx^2-y^2z^2;cos eta =frac y^2-z^2 ightx^2;cos gamma =fracz^2-z^2y^2.$

Lời giải chi tiết

giải pháp 1:Do $SAot left( ABCD ight).$

Ta có: $SA=sqrtSB^2-AB^2=a$. điện thoại tư vấn E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Thường thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Lúc đó $DN//BE//MI.$

Tacó: $AM=a;AI=fracAE2=fraca2.$

Mặt khác: $SM^2=SA^2+AM^2=2a^2;SI^2=frac5a^24.$

$MI=AI^2+AM^2=frac5a^24$. Do vậy $cos widehatSMI=fracSM^2+MI^2-SI^22.SM.MI=fracsqrt105=cos(widehatSM;DN).$

Cách 2:Ta có: $overrightarrowSM.overrightarrowDN ext = ext overrightarrowSM.left( overrightarrowSN-overrightarrowSD ight)=overrightarrowSM.overrightarrowSN ext - ext overrightarrowSM.overrightarrowSD$

$ ext=frac12left( SM^2+SN^2-MN^2 ight)-frac12left( SM^2+SD^2-MD^2 ight)$

Mặt khác: $SN^2=SA^2+AN^2=SA^2+AB^2+BN^2=6a^2,MN=fracAC2= ext asqrt2,SD^2=5a^2,MD^2=5a^2.$

Do đó $overrightarrowSM.overrightarrowDN=2a^2Rightarrow cos left( SM;DN ight)=fracleftSM.DN=frac2a^2asqrt2.asqrt5=fracsqrt105.$

Lời giải đưa ra tiết

a) vì $BC//ADRightarrow (widehatSD;BC)=(widehatSD;AD)=widehatSDA$

$Delta SAD$ vuông trên A $Rightarrow cos widehatSDA=fracADSD=fracADsqrtAD^2+SA^2=frac1sqrt3.$

b) hotline M, K theo lần lượt là trung điểm của AB cùng SA thì MK là đường trung bình vào tam giác SAB.