Chuyên Đề Tìm Số Phức Z Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước, Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước

Chuyên đề kiếm tìm số phức thỏa mãn nhu cầu điều kiện cho trước theo từng cường độ luyện thi giỏi nghiệp trung học phổ thông 2021 tất cả đáp án và giải mã được cách tân và phát triển từ câu 42 của đề xem thêm môn Toán 2021.

Bạn đang xem: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện

TÌM SỐ PHỨC THỎA NHIỀU ĐIỀU KIỆN mang lại TRƯỚC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Số phức là một biểu thức dạng $a + bi$, trong đó $a, m b$ là những số thực cùng số $i$ thỏa mãn $i^2 = – 1$. Kí hiệu $z = a + bi.$

$i$: đơn vị ảo, $a$: phần thực, $b$: phần ảo.

Chú ý:

* $z = a + 0i = a$ được call là số thực $(a in mathbbR subset mathbbC)$

* $z = 0 + bi = bi$ được điện thoại tư vấn là số ảo (hay số thuần ảo)

* $0 = 0 + 0i$ vừa là số thực vừa là số ảo

2. Màn trình diễn hình học của số phức.

* $Mleft( a;b ight)$ màn biểu diễn cho số phức $z Leftrightarrow z = a + bi$

3. Nhị số phức bởi nhau. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ in mathbbR$

$z = z’ Leftrightarrow left{ eginarrayla = a’\b = b’endarray ight.$

4. Cùng và trừ số phức. Cho nhì số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ in mathbbR$

$z + z’ = left( a + a’ ight) + left( b + b’ ight)i$

$z – z’ = left( a – a’ ight) + left( b – b’ ight)i$

5. Nhân nhị số phức. Cho nhì số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ in mathbbR$

$eginarraylz.z’ = left( aa’ – bb’ ight) + left( ab’ + a’b ight)i\k(a + bi) = ka + kbi,,(k in mathbbR)endarray$

6. Môđun của số phức $z = a + bi$

 Số thực $left| z ight| = sqrt a^2 + b^2 = left| overrightarrow OM ight|$ gọi là môdul của số phức $z = a + bi.$

 $left| z ight| = sqrt a^2 + b^2 = sqrt zar z = left| overrightarrow OM ight|$ với $Mleft( a;b ight)$ là điểm biểu diễn số phức $z.$

 $left| z ight| ge 0,;forall z in C;,,,left| z ight| = 0 Leftrightarrow z = 0$.

7. Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $z’ = a’ + b’i$

* $overlineoverline z = z$

* $overline z pm z’ = overline z + overline z’ $

* $left| overline z ight| = left| z ight|$

* $overline z.z’ = overline z .overline z’ $

* $z + z’ = 2a$

* $overline left( fracz_1z_2 ight) = fracoverline z_1 overline z_2 $

* $z.overline z = a^2 + b^2 = ^2$

8. Chia hai số phức.

Cho nhì số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ in mathbbR$

Thương của $z’$ phân chia cho$zleft( z e 0 ight)$: $fracz’z = fracz’overline z zoverline z = fracz’overline z z ight^2 = fracaa’ + bb’a^2 + b^2 + fracab’ – a’ba^2 + b^2i$

9. Căn bậc nhị của số phức.

$w = x + yi$ là căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ lúc và chỉ lúc $w^2 = z$ $left{ eginarraycx^2 – y^2 = a\2xy = bendarray ight.$.

Số $0$ có một căn bậc nhì là số $w = 0.$

Số $z e 0$ có hai căn bậc nhị đối nhau là $w$ và $– m w.$

Hai căn bậc nhị của số thực $a > 0;$ là $ pm sqrt a $.

Hai căn bậc hai của số thực $a 10. Lũy thừa đơn vị chức năng ảo $i$

$i^0 = 1, m i^1 = i, m i^2 = – 1, m i^3 = i^2.i = – i$,…, bởi quy hấp thụ ta được:

$i^4n = 1, m i^4n + 1 = i, m i^4n + 2 = – 1, m i^4n + 3 = – i, m $$forall n in mathbbN^ * $

Do đó: $i^n in left – 1;1; – i;i ight,$ $forall n in mathbbN^ * $

11. Căn bậc hai của số thực

o $z = 0$ có 1 căn bậc nhị là $0$

o $z = a$ là số thực dương có 2 căn bậc 2 là $ pm sqrt a $

o $z = a$ là số thực âm có 2 căn bậc nhì là $ pm sqrt left .i$

12. Phương trình bậc nhất $ax + b = 0$$(a, m b;$ là số phức cho trước, $a e 0).$

Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực

13. Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$$(a, m b, m c$ là số thực cho trước, $a e 0).$

Tính $Delta = b^2 – 4ac$

o $Delta 0$: Phương trình có hai nghiệm sáng tỏ phức $x_1,_2 = frac – b pm sqrt Delta 2a$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI

Mức độ 2

Câu 1. Biết $z = a + bi$ $left( a,b in mathbbR ight)$ là số phức thỏa mãn nhu cầu $left( 3 – 2i ight)z – 2ioverline z = 15 – 8i$. Tổng $a + b$ là

A. $a + b = 5$. B. $a + b = – 1$. C. $a + b = 9$. D. $a + b = 1$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $z = a + bi$$ Rightarrow overline z = a – bi$.

Theo đề bài xích ta có

$left( 3 – 2i ight)z – 2ioverline z = 15 – 8i$$ Leftrightarrow left( 3 – 2i ight)left( a + bi ight) – 2ileft( a – bi ight) = 15 – 8i$$ Leftrightarrow 3a – left( 4a – 3b ight)i = 15 – 8i$$ Leftrightarrow left{ eginarrayl3a = 15\4a – 3b = 8endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarrayla = 5\b = 4endarray ight.$. Vậy $a + b = 9$.

Câu 2. Cho số phức $z = a + bi$ (trong kia $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn nhu cầu $3z – left( 4 + 5i ight)overline z = – 17 + 11i$. Tính $ab$.

A. $ab = 6$. B. $ab = – 3$. C. $ab = 3$. D. $ab = – 6$.

Lời giải

Chọn A

Ta bao gồm $z = a + bi$ $ Rightarrow overline z = a – bi$.

Khi kia $3z – left( 4 + 5i ight)overline z = – 17 + 11i Leftrightarrow 3left( a + bi ight) – left( 4 + 5i ight)left( a – bi ight) = – 17 + 11i$

$ Leftrightarrow left( – a – 5b ight) – left( 5a – 7b ight)i = – 17 + 11i Leftrightarrow left{ eginarrayl – a – 5b = – 17\ – 5a + 7b = 11endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayla = 2\b = 3endarray ight. Rightarrow z = 2 + 3i$.

Vậy $ab = 6$.

Câu 3. Cho nhì số phức $z = left( a – 2b ight) – left( a – b ight)i$ với $w = 1 – 2i$. Biết $z = w.i$. Tính $S = a + b$.

A. $S = – 7$. B. $S = – 4$. C. $S = – 3$. D. $S = 7$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $z = left( a – 2b ight) – left( a – b ight)i$$ = left( 1 – 2i ight).i$$ = 2 + i$$ Rightarrow left{ eginarray*20ca – 2b = 2\ – a + b = 1endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20ca = – 4\b = – 3endarray ight.$.

Vậy $S = a + b$$ = – 7$.

Câu 4. Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn đk sau: $left| z + 1 ight| = left| fracz + ar z2 + 3 ight|$, call số phức $z = a + b mi$ là số phức tất cả môđun bé dại nhất. Tính $S = 2a + b$.

A. $0$. B. $ – 4$. C. $2$. D. $ – 2$

Lời giải

Chọn C

Do đó $left = a^2 + b^2$$ = a^2 + 4a + 8$$ = left( a + 1 ight)^2 + 4 ge 4$.

$min left| z ight| = 2$ khi còn chỉ khi $z = – 1 + 4 mi$. Suy ra $S = 2a + b = 2$

Câu 5. Cho số phức $z = a + bi$ $left( a, m b in mathbbR ight)$ thỏa mãn nhu cầu $z + 1 + 3i – left| z ight|i = 0$. Tính $S = a + 3b$.

A. $S = frac73$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – frac73$.

Lời giải

Chọn B

Ta gồm $z + 1 + 3i – left| z ight|i = 0$$ Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – isqrt a^2 + b^2 = 0$

$ Leftrightarrow a + 1 + left( b + 3 – sqrt a^2 + b^2 ight)i = 0$$ Leftrightarrow left{ eginarrayla + 1 = 0\b + 3 = sqrt a^2 + b^2 endarray ight.$

$ Leftrightarrow left{ eginarrayla = – 1\left{ eginarraylb ge – 3\left( b + 3 ight)^2 = 1 + b^2endarray ight.endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarrayla = – 1\b = – frac43endarray ight.$$ Rightarrow S = – 5$.

Câu 6. Cho số phức $z = a + bi,left( a,,b in mathbbZ ight)$ thỏa mãn $left| z + 2 + 5i ight| = 5$ với $z.ar z = 82$. Tính cực hiếm của biểu thức $P = a + b$.

A. $10$. B. $ – 8$. C. $ – 35$. D. $ – 7$.

Lời giải

Chọn B

Theo mang thiết ta gồm $left{ eginarraylsqrt left( a + 2 ight)^2 + left( b + 5 ight)^2 = 5\a^2 + b^2 = 82endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayla = frac – 5b – 432,,,left( 1 ight)\a^2 + b^2 = 82,,,,,left( 2 ight)endarray ight.$

Thay $left( 1 ight)$ vào $left( 2 ight)$ ta được $29b^2 + 430b + 1521 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylb = – 9\b = frac – 16929endarray ight.$

Vì $b in mathbbZ$ buộc phải $b = – 9 Rightarrow a = 1$. Cho nên vì thế $P = a + b = – 8$.

Câu 7. Cho số phức $z = a + bi$ $left( a, m b in mathbbR ight)$ thỏa mãn nhu cầu $z + 1 + 3i – left| z ight|i = 0$. Tính $S = a + 3b$.

A. $S = frac73$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – frac73$.

Lời giải

Chọn B

Ta bao gồm $z + 1 + 3i – left| z ight|i = 0$$ Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – isqrt a^2 + b^2 = 0$

$ Leftrightarrow a + 1 + left( b + 3 – sqrt a^2 + b^2 ight)i = 0$$ Leftrightarrow left{ eginarrayla + 1 = 0\b + 3 = sqrt a^2 + b^2 endarray ight.$

Câu 8. Cho số phức $z$ thỏa mãn: $overline z = fracleft( 1 + sqrt 3 i ight)^31 – i$. Tìm môđun của $overline z + iz$.

A. $4sqrt 2 $. B. $4$. C. $8sqrt 2 $. D. $8$.

Lời giải

Chọn C

$overline z = fracleft( 1 + sqrt 3 i ight)^31 – i$$ Leftrightarrow overline z = – 4 – 4i$$ Rightarrow $$z = – 4 + 4i$

$iz = ileft( – 4 – 4i ight) = – 4 – 4i$

$overline z + iz = – 4 – 4i + left( – 4 – 4i ight) = – 8 – 8i$

$left| overline z + iz ight| = sqrt left( – 8 ight)^2 + left( – 8 ight)^2 = 8sqrt 2 $

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn $mathop zlimits^ – = frac1 + 3i1 – i.$Tính modun của số phức $ mw = i.mathop zlimits^ – + z?$

A. $| mwsqrt 2 $. B. $| m = sqrt 2 $. C. $| mwsqrt 2 $. D. $| mwsqrt 2 $.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $mathop zlimits^ – = frac1 + 3i1 – i = – 1 + 2i.$

$ Rightarrow z = – 1 – 2i.$

$ Rightarrow $$ mw = i.( – 1 + 2i) + ( – 1 – 2i) = – 3 – 3i$.

$ Rightarrow $$| mwsqrt ( – 3)^2 + ( – 3)^2 = sqrt 18 = 3sqrt 2 $.

Câu 10. Cho số phức $z = a + bi$, với $a,,,b$ là những số thực thỏa mãn nhu cầu $a + bi + 2ileft( a – bi ight) + 4 = i$, với $i$ là đơn vị ảo. Search mô đun của $omega = 1 + z + z^2$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $a + bi + 2ileft( a – bi ight) + 4 = i Leftrightarrow left{ eginarrayla + 2b = – 4\b + 2a = 1endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayla = 2\b = – 3endarray ight.$. Suy ra $z = 2 – 3i$

Do đó $omega = 1 + z + z^2 = – 2 – 15i$. Vậy $left| omega ight| = sqrt left( – 2 ight)^2 + left( – 15 ight)^2 = sqrt 229 $

Mức độ 3

Câu 1. Tìm số phức $z$ thỏa mãn nhu cầu $left| z – 2 ight| = left| z ight|$ với $left( z + 1 ight)left( ar z – i ight)$ là số thực.

A. $z = 1 + 2i.$ B. $z = – 1 – 2i.$ C. $z = 2 – i.$ D. $z = 1 – 2i.$

Lời giải

Chọn D

Gọi $z = x + iy$ cùng với $x,y in mathbbR$ ta tất cả hệ phương trình $left{ eginarraylleft| z – 2 ight| = left| z ight|\left( z + 1 ight)left( ar z – i ight) in mathbbRendarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 2 ight)^2 + y^2 = x^2 + y^2\left( x + 1 + iy ight)left( x – iy – i ight) in mathbbRendarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 2 ight)^2 + y^2 = x^2 + y^2\left( x + 1 + iy ight)left( x – iy – i ight) in mathbbRendarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylx = 1\left( – x – 1 ight)left( y + 1 ight) + xy = 0endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylx = 1\y = – 2endarray ight.$

A. $M = 19$. B. $M = 25$. C. $M = 5$. D. $M = sqrt 19 $.

Lời giải

Chọn D

Từ trả thiết, ta gồm $left| left( 2left ight) + left( z ight ight) mi ight|.left| z ight| = sqrt 10 $$ Leftrightarrow left< left( 2left ight)^2 + left( z ight ight)^2 ight>.left = 10$

$ Leftrightarrow 5left + 5 z ight – 10 = 0$$ Leftrightarrow left| z ight| = 1$ (vì $left| z ight| ge 0$).

Gọi $z_1 = x_1 + y_1 mi$ cùng $z_2 = x_2 + y_2 mi$. Ta có $left| z_1 ight| = left| z_2 ight| = 1$ yêu cầu $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1$.

Mặt khác, $left| z_1 – z_2 ight| = 1$ cần $left( x_1 – x_2 ight)^2 + left( y_1 – y_2 ight)^2 = 1$. Suy ra $x_1x_2 + y_1y_2 = frac12$.

Khi đó $M = left| 2z_1 + 3z_2 ight|$$ = sqrt left( 2x_1 + 3x_2 ight)^2 + left( 2y_1 + 3y_2 ight)^2 $

$ = sqrt 4left( x_1^2 + y_1^2 ight) + 9left( y_1^2 + y_2^2 ight) + 12left( x_1x_2 + y_1y_2 ight) $

Vậy $M = sqrt 19 $.

Do đó $S_Delta ABC = frac12AC.BC$ $ Leftrightarrow $ $frac12left = 18$ $ Leftrightarrow $$left| z ight| = 6$.

Câu 3. Gọi $z_1$, $z_2$ là hai trong những số phức thỏa mãn nhu cầu $left| z – 1 + 2i ight| = 5$ với $left| z_1 – z_2 ight| = 8$. Tra cứu môđun của số phức $w = z_1 + z_2 – 2 + 4i$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $A$ là vấn đề biểu diễn của số phức $z_1$, $B$ là vấn đề biểu diễn của số phức $z_2$.

Theo mang thiết $z_1$, $z_2$ là hai trong những số phức thỏa mãn nhu cầu $left| z – 1 + 2i ight| = 5$ đề nghị $A$ cùng $B$ thuộc con đường tròn vai trung phong $Ileft( 1; – 2 ight)$ nửa đường kính $r = 5$.

Mặt không giống $left| z_1 – z_2 ight| = 8 Leftrightarrow AB = 8$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M$ là vấn đề biểu diễn của số phức $fracz_1 + z_22$ với $IM = 3$.

Do kia ta có

Câu 4. Có từng nào số phức $z$ thỏa mãn nhu cầu $left( 1 + i ight)z + overline z $ là số thuần ảo cùng $left| z – 2i ight| = 1$?

A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Đặt $z = a + bi$ với $a,b in mathbbR$ ta có : $left( 1 + i ight)z + overline z = left( 1 + i ight)left( a + bi ight) + a – bi$$ = 2a – b + ai$.

Mà $left( 1 + i ight)z + overline z $ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$$ Leftrightarrow b = 2a$.

Mặt không giống $left| z – 2i ight| = 1$ phải $a^2 + left( b – 2 ight)^2 = 1$

$ Leftrightarrow a^2 + left( 2a – 2 ight)^2 = 1$

$ Leftrightarrow 5a^2 – 8a + 3 = 0$

$ Leftrightarrow left< eginarrayla = 1 Rightarrow b = 2\a = frac35 Rightarrow b = frac65endarray ight.$.

Vậy có $2$ số phức thỏa yêu thương cầu bài toán.

Câu 5. Có bao nhiêu số phức $z$ vừa lòng $left| z + 1 – 3i ight| = 3sqrt 2 $ và $left( z + 2i ight)^2$ là số thuần ảo?

A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.

Lời giải

Chọn C

Gọi $z = x + yileft( x,y in mathbbR ight)$, lúc đó

$left| z + 1 – 3i ight| = 3sqrt 2 Leftrightarrow left( x + 1 ight)^2 + left( y – 3 ight)^2 = 18,,,,left( 1 ight)$.

$left( z + 2i ight)^2 = left< x + left( y + 2 ight)i ight>^2 = x^2 – left( y + 2 ight)^2 + 2xleft( y + 2 ight)i$.

Theo giả thiết ta có $x^2 – left( y + 2 ight)^2 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylx = y + 2\x = – left( y + 2 ight)endarray ight.$.

Trường hợp 1: $x = y + 2$ chũm vào $left( 1 ight)$ ta được phương trình $2y^2 = 0$

và giải ra nghiệm $y = 0$, ta được $1$ số phức $z_1 = 2$.

Trường hòa hợp 2: $x = – left( y + 2 ight)$ rứa vào $left( 1 ight)$ ta được phương trình $2y^2 – 4y – 8 = 0$

và giải ra ta được $left< eginarrayly = 1 + sqrt 5 \y = 1 – sqrt 5 endarray ight.$, ta được $2$ số phức $left< eginarraylz_2 = – 3 – sqrt 5 + left( 1 + sqrt 5 ight)i\z_3 = – 3 + sqrt 5 + left( 1 – sqrt 5 ight)iendarray ight.$.

Vậy bao gồm $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài xích toán.

Câu 6. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn nhu cầu $ z – 1 ight + left| z – overline z ight|i + left( z + overline z ight)i^2019 = 1$?

A. 4 B. C. 1 D. 3

Lời giải

Chọn D

Gọi $z = a + bi$; $left( a,b in mathbbR ight)$$ Rightarrow overline z = a – bi$.

$i^2019 = – i$, $left( z + overline z ight)i^2019 = – ileft( a + bi + a – bi ight) = – 2ai$.

Suy ra phương trình đang cho tương tự với: $left( a – 1 ight)^2 + b^2 + 2left| b ight|i – 2ai = 1$

$ Leftrightarrow left{ eginarraylleft( a – 1 ight)^2 + b^2 = 1\2left| b ight| – 2a = 0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayla^2 – 2a + b^2 = 0\a = left| b ight|endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl2left – 2left| b ight| = 0\a = left| b ight|endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylleft| b ight| = 0\left| b ight| = 1endarray ight.\a = left| b ight|endarray ight. Leftrightarrow left< {eginarray*20c{left eginarray*20ca = 0\b = 0endarray ight.\{left eginarray*20ca = 1\b = 1endarray ight.\left eginarray*20ca = 1\b = – 1endarray ight.endarray ight.$

Vậy bao gồm 3 số phức $z$thỏa mãn.

Câu 7. Có từng nào số phức $z$ thỏa mãn $^2 = left| z + overline z ight| + left| z – overline z ight|$ và $z^2$ là số thuần ảo

A. $4$ B. $2$ C. $3$ D. $5$

Lời giải

Gọi số phức $z = a + bi$, $a,b in mathbbR$.

$ Leftrightarrow a^2 + b^2 = 2left| a ight| + 2left| b ight|,,left( 1 ight)$.

Lại gồm $z^2 = left( a + bi ight)^2 = a^2 – b^2 + 2abi$ là số thuần ảo, suy ra $a^2 – b^2 = 0 Leftrightarrow a = pm b$

Trường vừa lòng 1 : $a = b$ cụ vào $left( 1 ight)$ ta được:

Trường đúng theo 2 : $a = – b$ thay vào $left( 1 ight)$ ta được:

Vậy gồm $5$ số phức thỏa mãn nhu cầu bài toán là $z = 0$, $z = 2 pm 2i$, $z = – 2 pm 2i$

Câu 8. Cho số phức $z = a + b mi$ $left( a,b in mathbbR ight)$ vừa lòng các điều kiện $z – ar z = 4 mi$ cùng $left| z + 1 + 2 mi ight| = 4$. Quý giá của $T = a + b$ bằng

A. $3$. B. $ – 3$. C. $ – 1$. D. $1$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $z – ar z = 4 mi Rightarrow left( a + b mi ight) – left( a – b mi ight) = 4 mi Leftrightarrow 2b = 4 Leftrightarrow b = 2$.

$ Leftrightarrow sqrt left( a + 1 ight)^2 + 4^2 = 4 Leftrightarrow left( a + 1 ight)^2 = 0 Leftrightarrow a = – 1$.

Vậy $z = – 1 + 2 mi$. Suy ra: $T = a + b = – 1 + 2 = 1$.

Câu 9. Cho số phức $z = a + bi,,left( a,b in mathbbR ight)$ vừa lòng điều khiếu nại $frac^2z + 2iz + frac2left( z + i ight)1 – i = 0.$ Tính tỷ số $T = fracab.$

A. $T = frac25$. B. $T = – frac35$. C. $T = frac35$. D. $T = 5$.

Lời giải

Chọn C

Ta gồm $frac^2z + 2iz + frac2left( z + i ight)1 – i = 0$

$ Leftrightarrow fracz,ar zz + 2iz + frac2left( z + i ight)left( 1 + i ight)2 = 0$$ Leftrightarrow ar z + 2iz + z + iz + i – 1 = 0$

$ Leftrightarrow a – bi + a + bi + 3i(a + bi) + i – 1 = 0$$ Leftrightarrow left( 2a – 3b – 1 ight) + left( 3a + 1 ight)i = 0$

$ Leftrightarrow left{ eginarrayl2a – 3b – 1 = 0\3a + 1 = 0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayla = – frac13\b = – frac59endarray ight.$.

Vậy $T = frac35.$

Câu 10. Cho số phức $z$ thỏa mãn $left( z – 3 + i ight)left( 1 – i ight) = left( 1 + i ight)^2019$. Khi đó số phức $ mw = z + 1 – 2i$ gồm phần ảo?

A. $2^1009 – 1$. B. $ – 2$. C. $ – 3$. D. $2^1009 – 4$.

Lời giải

Chọn C

$left( z – 3 + i ight)left( 1 – i ight) = left( 1 + i ight)^2019 Leftrightarrow left( z – 3 + i ight)left( 1 – i ight)left( 1 + i ight) = left( 1 + i ight)^2020$

$ Rightarrow z = fracleft< left( 1 + i ight)^2 ight>^1010left( 1 – i ight)left( 1 + i ight) + 3 – i = fracleft( 2i ight)^10102 + 3 – i = fracleft< left( 2i ight)^2 ight>^5052 + 3 – i = fracleft( – 4 ight)^5052 + 3 – i = – 2^1009 + 3 – i$.

Vậy: $ mw = z + 1 – 2i = – 2^1009 + 3 – i + 1 – 2i = – 2^1009 – 3i + 4$

Do đó phần ảo của số phức phải tìm là -3 .

Câu 11. Cho số phức $z = a + bi,left( a,b in mathbbR ight)$ thỏa mãn nhu cầu $left| overline z – 2 + 3i ight| = sqrt 5 $ và $z$ có phần thực lớn hơn phần ảo $2$ 1-1 vị. Tính $S = a + b$.

A. $S = 2$ với $S = 6$. B. $S = 4$ và $S = 3$. C. $S = 4$ với $S = 6$. D. $S = – 2$ và $S = 4$.

Lời giải:

Chọn C

Gọi $z = a + bi,left( a,b in mathbbR ight) Rightarrow overline z = a – bi$.

Theo trả thiết, ta bao gồm hệ:

$left{ eginarraylleft| overline z – 2 + 3i ight| = sqrt 5 \a = b + 2endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylleft| a – bi – 2 + 3i ight| = sqrt 5 \a = b + 2endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylsqrt left( a – 2 ight)^2 + left( 3 – b ight)^2 = sqrt 5 \a = b + 2endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylb^2 + left( 3 – b ight)^2 = 5\a = b + 2endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarrayl2b^2 – 6b + 4 = 0\a = b + 2endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylb = 1\b = 2endarray ight.\a = b + 2endarray ight.$$ Leftrightarrow left< eginarraylleft{ eginarrayla = 3\b = 1endarray ight.\left{ eginarrayla = 4\b = 2endarray ight.endarray ight.$.

Vậy $S = 3 + 1 = 4$ và $S = 4 + 2 = 6$.

A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. $3$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $z = a + bi,left( a,b in mathbbR ight) Rightarrow overline z = a – bi$.

Theo trả thiết, ta tất cả hệ: $left{ eginarraylleft| z – 1 + 2i ight| = left| overline z + 4 – i ight|\left| z – 2 ight| = sqrt 10 endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylleft| a + bi – 1 + 2i ight| = left| a – bi + 4 – i ight|\left| a + bi – 2 ight| = sqrt 10 endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylleft( a – 1 ight)^2 + left( b + 2 ight)^2 = left( a + 4 ight)^2 + left< – left( b + 1 ight) ight>^2\left( a – 2 ight)^2 + b^2 = 10endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarrayl – 10a + 2b = 12\left( a – 2 ight)^2 + b^2 = 10endarray ight.$

$ Leftrightarrow left{ eginarraylb = 6 + 5a\left( a – 2 ight)^2 + left( 6 + 5a ight)^2 = 10endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylb = 6 + 5a\26a^2 + 56a + 30 = 0endarray ight.$

$ Leftrightarrow left{ eginarraylb = 6 + 5a\left< eginarrayla = – 1\a = – frac1513endarray ight.endarray ight.$$ Leftrightarrow left< eginarraylleft{ eginarrayla = – 1\b = 1endarray ight.\left{ eginarrayla = – frac1513\b = frac313endarray ight.endarray ight.$

Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề: $z = – 1 + i$ với $z = – frac1513 + frac313i$.

Xem thêm: Nam Sinh Tỏ Tình: " Ngữ Văn 11 Sgk Tập 2 Trang 59 Sgk Văn 11

Câu 13. Trong những số phức thỏa mãn nhu cầu điều kiện $left| z + 3i ight| = left| z + 2 – i ight|.$ tra cứu số phức gồm môđun nhỏ nhất?

A. $z = 1 – 2i$. B. $z = – frac15 + frac25i$. C. $z = frac15 – frac25i$. D. $z = – 1 + 2i$.

Lời giải:

Chọn C

Giả sử $z = x + yi,left( x,y in mathbbR ight)$

$left| z + 3i ight| = left| z + 2 – i ight| Leftrightarrow left| {x + left(

16/06/2022

TÌM SỐ PHỨC Z THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN