Bài trước vẫn học cách làm lượng giác, bài này sẽ giúp đỡ bạn áp dụng công thức một phương pháp linh hoạt để đổi khác biểu thức lượng giác trải qua các ví du. Trường đoản cú đó nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không quan trọng và mang lại giá trị lượng giác quánh biệt.
Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx - cosx - 8cosx.cos$^3$3x.Bạn đang xem: Rút gọn biểu thức lớp 10
Biến thay đổi biểu thức về dạng:A = cos10x + 1 + cos8x - cosx - 2(4cos$^3$3x - 3cos3x)cosx= 2cos9x.cosx + 1 - cosx - 2cos9x.cosx = 1 - cosx.Nhận xét: Như vậy, nhằm rút gọn các biểu thức trên chúng ta sử dụng cách làm hạ bậc dựa trên phát minh chủ đạo là biến hóa nó về dạng tổng.Thí dụ 2. Rút gọn những biểu thức:a. A = $frac1 - cos ^2left( fracpi 2 + alpha ight)1 - sin ^2left( fracpi 2 - alpha ight)$ - cot($fracpi 2$ - α).tan(α - $fracpi 2$).b. B = $fracsin ^42x + cos ^42x an (fracpi 4 - x). an (fracpi 4 + x)$.
a. Biến hóa A về dạng:A = $frac1 - sin ^2alpha 1 - cos ^2alpha $ + tanα.cotα = $fraccos ^2alpha sin ^2alpha $ + 1 = $fraccos ^2alpha + sin ^2alpha sin ^2alpha $ = $frac1sin ^2alpha $.b. Biến hóa B về dạng:B = $frac(sin ^22x + cos ^22x)^2 - 2sin ^22x.cos ^22x an (fracpi 4 - x).cot (fracpi 4 - x)>$ = 1 - $frac12$sin24x.Nhận xét: Như vậy, để rút gọn các biểu thức trên chúng ta chỉ việc áp dụng mối contact giữa các góc sệt biệt.Thí dụ 3. Rút gọn biểu thức: A = $fracsin x + sin 3x + sin 5xcos x + cos 3x + cos 5x$.
Ta theo thứ tự có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1)cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x - 1). (2)Từ (1) với (2) suy ra: A = $fracsin 3xcos 3x$ = tan3x.Nhận xét: Đương nhiên, chúng ta có thể trình bày theo kiểu đổi khác đồng thời TS cùng MS. Cách trình bày như trên tất cả tính minh hoạ để các em học sinh lấy nó vận dụng cho hầu như biểu thức mà độ phức tạp trong các phép đổi khác cho TS cùng MS khác nhau.Thí dụ 4. Rút gọn những biểu thức:a. A = $left( frac1cos 2x + 1 ight)$.tanx. B. B = cos8x.cot4x - $fraccot ^22x - 12cot 2x$.
a. Ta vươn lên là đổi: A = $frac1 + cos 2xcos 2x$.tanx = $frac2cos ^2xcos 2x$.$fracsin xcos x$= $frac2cos x.sin xcos 2x$ = $fracsin 2xcos 2x$ = tan2x.b. Ta đổi thay đổi: B = cos8x.cot4x - $fraccos ^22x - sin ^22x2cos 2x.sin 2x$= cos8x. $fraccos 4xsin 4x$ - $fraccos 4xsin 4x$= (cos8x - 1) $fraccos 4xsin 4x$ = -2sin24x.$fraccos 4xsin 4x$ = -2 sin4x.cos4x = -sin8x.Nhận xét: Như vậy, để rút gọn những biểu thức hỗn hợp chứa sin, cos với tan, cot như trên chúng ta thường biến đổi tan, cot theo sin, cos.Thí dụ 5. Rút gọn các biểu thức:a. A = sin$^2$a + sin$^2$2a + ... + sin$^2$na.b. B = $frac1sin a.sin 2a$ + $frac1sin 2a.sin 3a$ + ... + $frac1sin na.sin (n + 1)a$.
a. Ta đổi khác biểu thức về dạng:A = $frac12$(1 - cos2a) + $frac12$(1 - cos4a) + ... + $frac12$(1 - cos2na)= $fracn2$ - $frac12$(cos2a + cos4a + ... + cos2na).Xét hai trường hợp:Trường thích hợp 1: giả dụ a = kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì: cos2a = cos4a = ... = cos2na = 1 ⇒ D = 0.Trường hòa hợp 2: nếu như a ≠ kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì ta tính được tổng: T = cos2a + cos4a + ... + cos2na = $fraccos (n + 1)a.sin nasin a$Từ đó, suy ra: A = $fracn2$ - $fraccos (n + 1)a.sin na2sin a$.b. Nhân cả nhì vế của biểu thức cùng với sina, ta được:B.sina = $fracsin asin a.sin 2a$ + $fracsin asin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin asin na.sin (n + 1)a$= $fracsin (2a - a)sin a.sin 2a$ + $fracsin (3a - 2a)sin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin <(n + 1)a - na>sin na.sin (n + 1)a$= cota - cot2a + cot2a - cot3a + … + cotna - cot(n + 1)a= cota - cot(n + 1)a = $fracsin nasin a.sin (n + 1)a$⇔ B = $fracsin nasin ^2a.sin (n + 1)a$.Thí dụ 6. Rút gọn gàng biểu thức A = $frac1sin a$ + $frac1sin 2a$ + ... + $frac1sin 2^na$.
Ta có: $frac1sin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^ka - cos 2^kasin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^kasin 2^ka$ - $fraccos 2^kasin 2^ka$= $frac2cos ^22^k - 1a2sin 2^k - 1a.cos 2^k - 1a$ - cot$^2k$a = cot2$^k-1$a - cot2$^k$a.Suy ra: A = cot$fraca2$ - cota + cota - cot2a + ... + cot$^2n-1$a - cot$^2n$a = cot$fraca2$ - cot2$^n$a.Thí dụ 7. Rút gọn biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tan(n - 1)a.tanna.
Ta có: tana = tan<(k + 1) - k>a = $frac an (k + 1)a - an ka1 + an (k + 1)a. an ka$⇔ tanka.tan(k + 1)a = $frac an (k + 1)a - an ka an a$ - 1,do đó: tana.tan2a = $frac an 2a - an a an a$ - 1; tan2a.tan3a = $frac an 3a - an 2a an a$ - 1...tan(n - 1)a.tanna = $frac an na - an (n - 1)a an a$ - 1suy ra: A = $frac an na - an a an a$ - (n - 1) = $frac an na an a$ - n.Chú ý: tác dụng của bài toán trên được áp dụng để đơn giản biểu thức: A = $frac1cos a.cos 2a$ + $frac1cos 2a.cos 3a$ + ... + $frac1cos na.cos (n + 1)a$.Thật vậy, nếu nhân cả nhị vế của đẳng thức cùng với cosa, ta được: B.cosa = $fraccos acos a.cos 2a$ + $fraccos acos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos acos na.cos (n + 1)a$= $fraccos (2a - a)cos a.cos 2a$ + $fraccos (3a - 2a)cos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos <(n + 1)a - na>cos na.cos (n + 1)a$= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + ... + 1 + tanna.tan(n + 1)a= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tanna.tan(n + 1)a= n + $frac an (n + 1)a an a$ - n - 1 = $frac an (n + 1)a an a$ - 1.Tuy nhiên, có thể sử dụng sina để nhận được giải mã độc lập.Thí dụ 8. Rút gọn biểu thức A = tana + $frac12$tan$fraca2$ + ... + $frac12^n$tan$fraca2^n$.
Nhận xét rằng:cotx - tanx = $fraccos ^2x - sin ^2xsin x.cos x$ = $frac2cos 2xsin 2x$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx - 2cot2x.Từ đó, ta có những kết quả: tana = cota - 2cot2a, $frac12$tan$fraca2$ = $frac12$cot$fraca2$ - cota,…$frac12^n$tan$fraca2^n$ = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - $frac12^n - 1$cot$fraca2^n - 1$.Cộng theo vế những đẳng thức trên, ta được A = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - 2cot2a.Thí dụ 9. Rút gọn biểu thức A = $fracsqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x $, với - $fracpi 4$ A = $frac(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )^2(sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x )(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )$= $frac1 + sin 2x + 2sqrt 1 - sin ^22x + 1 - sin 2x1 + sin 2x - 1 + sin 2x$= $frac1 + sqrt cos ^22x sin 2x$ = $fraccos 2xsin 2x$$mathop = limits^{ - fracpi 4 Chú ý: người ta rất có thể sử dụng công dụng của lấy một ví dụ trên để tạo ra những yêu cầu khá thú vị, để minh hạo ta xét đòi hỏi:“Cho t ∈ <-1; 1> và thoả mãn tanx = $fracsqrt 1 + t + sqrt 1 - t sqrt 1 + t - sqrt 1 - t $. Chứng minh rằng t = sin2x”.Trước hết: tanx = $frac(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )^2(sqrt 1 + t - sqrt 1 - t )(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )$ = $frac1 + sqrt 1 - t^2 t$.Mặt khác: sin2x = $frac2 an x1 + an ^2x$ = $frac2.frac1 + sqrt 1 - t^2 t1 + left( frac1 + sqrt 1 - t^2 t ight)^2$ = $frac2(1 + sqrt 1 - t^2 )t2(1 + sqrt 1 - t^2 )$ = t.Chú ý: trong những bài toán thi bọn họ thường chạm mặt phải yêu mong "Chứng minh đẳng thức lượng giác hòa bình với trở thành số".Thí dụ 10. minh chứng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cos$^2$(x - $fracpi 3$) + cos2x + cos2(x + $fracpi 3$).
Ta rất có thể lựa lựa chọn một trong nhị cách chuyển đổi sau:Cách 1: Ta vươn lên là đổi:A = (cosx.cos$fracpi 3$ + sinx.sin$fracpi 3$)2 + cos2x + (cosx.cos$fracpi 3$ - sinx.sin$fracpi 3$)2= ($frac12$cosx + $fracsqrt 3 2$sinx)2 + cos2x + ($frac12$cosx - $fracsqrt 3 2$sinx)2= $frac12$cos$^2$x + $frac32$sin$^2$x + cos$^2$x = $frac32$(sin$^2$x + cos$^2$x) = $frac32$.Vậy, biểu thức A không dựa vào vào x.Cách 2: Ta vươn lên là đổi:A = $frac12$<1 + cos(2x - $frac2pi 3$)> + cos2x + $frac12$<1 + cos(2x + $frac2pi 3$)>= 1 + cos2x + $frac12$
Xem thêm: Từ Điển Anh Việt " Building Là Gì, Nghĩa Của Từ Building
Ta biến đổi:A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) = 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a).Để biểu thức không nhờ vào vào x điều kiện là:cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π - a) = 0⇔ $left< eginarrayl3a = pi - a + 2kpi \3a = - pi + a + 2kpi endarray ight.$⇔ $left< eginarrayla = fracpi 4 + frackpi 2\a = - fracpi 2 + kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^a in (0,,fracpi 2) $ a = $fracpi 4$.Vậy, cùng với a = $fracpi 4$ biểu thức không phụ thuộc vào vào x.
