Phân tích đa thức thành nhân tử là chuyển đổi đa thức thành dạng tích của đa số đa thức. Đây là một kĩ thuật cực kỳ hữu ích giúp đỡ bạn làm nhanh những bài toán rút gọn gàng phân thức sau này.
Bạn đang xem: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Vậy có các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nào?
Hãy cùng tò mò các phương thức phân tích đa thức thành nhân tử hay dùng như:
đặt nhân tử chungnhóm hạng tửdùng hằng đẳng thứcphối hợp nhiều phương pháptách hạng tửđổi biến
1-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chungBài tập SGK: Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung2- Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thứcBài tập SGK: Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức dùng hằng đẳng thức3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửBài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức nhóm hạng tử4-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp những phương phápBài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp5-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bởi phương pháp bóc tách hạng tử6-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm và sút cùng một hạng tử
1-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung
Cách làm:
A.B + A.C = A(B + C)
Như vậy, bí quyết làm trên đó là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung.
Mẹo phân tích đa thức thành nhân tử đầu tiên chính là xem nhân ái tử thông thường nào hay không hoặc hoàn toàn có thể tạo ra nhân tử phổ biến không.
Video bài giảng:
Phân tích nhiều thức 15x³ − 5x² + 10x thành nhân tử.
Giải:
Ta phân biệt ba đối chọi thức thành phần bao gồm điểm phổ biến là những chứa 5x. Vậy ta để 5x làm nhân tử chung.
Ta có: 15x³ − 5x² + 10x = 5x.3x² − 5x.x + 5x.2 = 5x(3x² − x + 2)
Phân tích nhiều thức thành nhân tử:
a) x² − x = x(x − 1)
b) 5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y)
Ta để x − 2y là nhân tử chung.
5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y) = (x − 2y)(5x² − 15x)
c) 3(x − y) − 5x(y − x)
Chú ý: tính chất A = −(−A)
Ta thấy gồm x − y cùng y − x, mong muốn có bình thường nhân tử x − y ta làm cho như sau:
3(x − y) − 5x(y − x) = 3(x − y) + 5xy(x − y) = (x − y)(3 + 5xy)
Tìm x làm sao để cho 3x² − 6x = 0.
Giải:
Đầu tiên ta phân tích nhiều thức thành nhân tử:
3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0
Tích trên bằng 0 khi một trong những nhân tử bởi 0.
Ta gồm x = 0 hoặc x − 2 = 0.
Vậy x = 0 hoặc x = 2.
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung
Bài 39.Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 3x − 6y = 3(x − 2y);
b)
c) 14x² − 21xy² + 28x²y² = 7x(2x − 3y² + 4xy²)
d)
e) 10x(x − y) − 8y(y − x) = 10x(x − y) + 8y(x − y) = 2(x − y)(5x + 4y)
Bài 40.Tính quý giá của biểu thức:
a) 15. 91,5 + 150.0,85 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100= 1500
b) x(x − 1) − y(1 − x) trên x = 2001 và y = 1999.
Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
x(x − 1) − y(1 − x)
= x(x − 1) + y(x − 1)
= (x − 1)(x + y)
= (2001 − 1)(2001 + 1999)
= 2000.4000 = 8000000
Bài 41.Tìm x, biết:
a) 5x(x − 2000) − x + 2000 = 0
Đầu tiên ta bắt buộc phân tích đa thức thành nhân tử,. Vì chưa có nhân tử chung, ta phải làm xuất hiện thêm nhân tử chung.
5x(x − 2000) − x + 2000
= 5x(x − 2000) − (x − 2000)
= (x − 2000)(5x − 1) = 0
⇔ x = 2000 hoặc 5x − 1 = 0
⇔ x = 2000 hoặc x = 1/5
b) x³ − 13x = 0
⇔ x(x² − 13) = 0
⇔ x = 0 hoặc x² = 13
⇔ x = 0 hoặc x = ±√13
Bài 42.Chứng minh rằng
Giải:
Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
=55^n.54vdots&space;54)
2- Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Cách làm:
Dùng đông đảo hằng đẳng thức đáng nhớ để chuyển đổi đa thức về dạng tích nhiều đa thức.
Vậy nhằm sử dụng cách thức này nhằm phân tích đa thức thành nhân tử, ta buộc phải thuộc phần lớn hằng đằng thức kỷ niệm và nhận thấy dạng của nó.
(A + B)² = A² + 2AB + B²
(A − B)² = A² − 2AB + B²
A² − B² = (A − B)(A + B)
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³
A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)
A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức dùng hằng đẳng thức
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x² − 4x + 4 = x² − 2.2x + 2² = (x − 2)²
b) x² − 4x + 4 − y² = (x − 2)² − y² = (x − 2 − y)(x − 2 + y)
c) 1 − 8x³ = 1³ − (2x)³ = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x²).
a) Phân tích nhiều thức thành nhân tử: x³ + 3x² + 3x + 1
Ta nhận biết đa thức trên tất cả dạng lập phương của một tổng đề xuất ta có:
x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³
b) Tính nhanh: 105² − 25
Ta nhận thấy đa thức trên bao gồm dạng A² − B² đề nghị ta có:
105² − 25 = 105² − 5² = (105 − 5)(105 + 5) = 100.110 = 11000
Chứng minh rằng (2n + 5)² − 25 chia hết cho 4 với tất cả số nguyên n.
Giải:
Muốn chứng minh một đa thức chia hết cho một trong những nào đó, ta chỉ việc phân tích nhiều thức thành nhân tử và đã cho thấy số đó là 1 trong nhân tử của đa thức.
Ta thấy đa thức trên có dạng A² − B² phải ta sử dụng hằng đẳng thức A² − B² = (A − B)(A + B) để phân tích nhiều thức thành nhân tử:
(2n + 5)² − 25 = (2n + 5)² − 5²
= (2n + 5 − 5)(2n + 5 + 5)
= 2n(2n + 10)
= 4n(n + 5)
Vì cụ (2n + 5)² − 25 chia hết đến 4 với tất cả số nguyên n.
Video bài bác giảng:
Bài tập SGK: Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức dùng hằng đẳng thức
Bài 43.Phân tích nhiều thức thành nhân tử:
a) x² + 6x + 9
Ta nhận biết dạng x² + 2x.3 + 3² đúng không.
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
b) 10x − 25 − x²
Có thể phân biệt dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu ví như ta viết lại đa thức:
10x − 25 − x²
= − (x² − 10x + 25)
= − (x − 5)²
Các em có nhận ra dạng A³ − B³ không?
Các em bao gồm thấy nhiều thức dạng A² − B² không?
Phân tích đa thức thành nhân tử:
= <(a + b)² + (a + b)(a − b) + (a − b)²>
= 2b(a²+ 2ab + b² + a² − b² + a² − 2ab + b²)
= 2b(3a² + b²)
c) (a + b)³ + (a − b)³
= <(a + b)² − (a + b)(a − b) + (a − b)²>
= 2a
= 2a(a²+ 3b²)
= (2x + y)³
e) −x³ + 9x² − 27x + 27
= − (x − 3)³
Bài 45.Tìm x, biết:
a) 2 − 25x² = 0
Đầu tiên ta nên phân tích đa thức thành nhân tử, nhờ vào hằng đẳng thức
A² − B² = (A − B)(A + B)
2 − 25x² = 0
⇔ (√2 − 5x)(√2 + 5x) = 0
⇔ √2 − 5x = 0 hoặc √2 + 5x = 0
Nếu √2 − 5x = 0 ⇔ x = √2/5.
Nếu √2 + 5x = 0 ⇔ x = – √2/5.
Ta phân tích nhiều thức thành nhân tử theo hằng đẳng thức (A − B)² = A² − 2AB + B².
Xem thêm: Tính Chất Hóa Học Của Bazơ Tan Là Những Chất Nào, Chất Nào Sau Đây Là Bazơ Tan Trong Nước
Tính nhanh:
a) 73² − 27² = (73 − 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600
b) 37² − 13² = (37 − 13)(37 + 13) = 24. 50 = 1200
c) 2002² − 2² = (2002 − 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000
3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức nhóm hạng tử
Cách làm:
Khi đối chiếu một nhiều thức thành nhân tử nhưng không thấy nhân tử chung hay là không có dạng hằng đẳng thức nào đang học, ta đề nghị một cách thức khác.
Mục đích: Đó là làm vậy nào để lộ diện nhân tử chung, là làm nắm nào để xuất hiện thêm hằng đẳng thức