Bài viết hướng dẫn giải bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số mũ với logarit bằng phương pháp sử dụng những phương pháp: phụ thuộc nguyên hàm cơ bản, phân tích, đổi đổi mới và nguyên hàm từng phần … vào mỗi cách thức sẽ có những ví dụ minh họa cụ thể với lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của hàm logarit

Để khẳng định nguyên hàm của những hàm số mũ với logarit ta bắt buộc linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.2. Phương pháp phân tích.3. Cách thức đổi biến.4. Cách thức nguyên hàm từng phần.

Dạng toán 1: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản.Bằng những phép đổi khác đại số, ta biến hóa biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng nguyên hàm cơ bạn dạng đã biết.

Ví dụ 1: tìm kiếm nguyên hàm của các hàm số sau:a) $f(x) = frac1e^x – e^ – x.$b) $frac2^2x3^x16^x – 9^x.$

a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdleft( e^x ight)e^2x – 1 $ $ = frac12ln left| frace^x – 1e^x + 1 ight| + C.$b) Chia tử số và chủng loại số của biểu thức dưới dấu vết phân đến $4^x$, ta được:$int f (x)dx$ $ = int fracleft( frac43 ight)^xleft( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43int fracdleft< left( frac43 ight)^x ight>left( frac43 ight)^2x – 1 dx$ $ = frac1ln frac43.frac12ln left| fracleft( frac43 ight)^x – 1left( frac43 ight)^x + 1 ight| + C$ $ = frac12(ln 4 – ln 3)ln left| frac4^x – 3^x4^x + 3^x ight| + C.$

Ví dụ 2: search nguyên hàm của các hàm số sau:a) $f(x) = frac11 + 8^x.$b) $f(x) = fracln (ex)3 + xln x.$

a) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac11 + 8^x dx$ $ = int left( 1 – frac8^x1 + 8^x ight) dx$ $ = x – fracln left( 1 + 8^x ight)ln 8 + C.$b) Ta có: $int f (x)dx$ $ = int frac1 + ln x3 + xln x dx$ $ = int fracd(xln x)3 + xln x $ $ = int fracd(3 + xln x)3 + xln x $ $ = ln |3 + xln x| + C.$

Dạng toán 2: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số mũ với logarit bằng cách thức phân tích. chúng ta đã được gia công quen với phương thức phân tích để tính các xác định nguyên hàm nói chung. Hiện giờ đi xem xét chi tiết hơn về câu hỏi sử dụng cách thức này để xác định nguyên hàm của những hàm số mũ với logarit. Nên hiểu rằng thực chất nó là một trong dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây ta sử dụng các đồng bộ thức quen thuộc thuộc.

Ví dụ 1: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac11 – e^x.$

Sử dụng đồng điệu thức: $1 = left( 1 – e^x ight) + e^x$, ta được:$frac11 – e^x$ $ = fracleft( 1 – e^x ight) + e^x1 – e^x$ $ = 1 + frace^x1 – e^x.$Suy ra: $int f (x)dx$ $ = int left( 1 + frace^x1 – e^x ight) dx$ $ = int d x – int fracdleft( 1 – e^x ight)1 – e^x $ $ = x – ln left| 1 – e^x ight| + C.$

Ví dụ 2: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 .$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int e^x sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 dx$ $ = int sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 dleft( e^x – 1 ight)$ $ = frace^x – 12sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| left( e^x – 1 ight) + sqrt left( e^x – 1 ight)^2 + 1 ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2 ight| + C.$Chú ý: Nếu những em học sinh thấy cực nhọc hình cần sử dụng một giải pháp cặn kẽ cách biến đổi để đem về dạng cơ phiên bản trong việc trên thì triển khai theo hai bước sau:Bước 1: thực hiện phép đổi biến $t = e^x$, suy ra:$dt = e^xdx.$$e^xsqrt e^2x – 2e^x + 2 dx$ $ = sqrt t^2 – 2t + 2 dt$ $ = sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Khi đó: $int f (x)dx = int sqrt (t – 1)^2 + 1 dt.$Bước 2: thực hiện phép thay đổi biến $u = t – 1$, suy ra:$du = dt.$$sqrt (t – 1)^2 + 1 dt = sqrt u^2 + 1 du.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt u^2 + 1 du$ $ = fracu2sqrt u^2 + 1 $ $ + frac12ln left| u + sqrt u^2 + 1 ight| + C$ $ = fract – 12sqrt (t – 1)^2 + 1 $ $ + frac12ln left| t – 1 + sqrt (t – 1)^2 + 1 ight| + C$ $ = frace^x – 12sqrt e^2x – 2e^x + 2 $ $ + frac12ln left| e^x – 1 + sqrt e^2x – 2e^x + 2 ight| + C.$Dạng toán 3: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số mũ cùng logarit bằng cách thức đổi biến.Phương pháp đổi đổi mới được sử dụng cho những hàm số mũ cùng logarit với mục tiêu chủ đạo để chuyển biểu thức dưới vết tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy vậy trong nhiều trường hợp đề xuất tiếp thu hầu như kinh nghiệm nhỏ dại đã được trình bày bằng các chú ý.

Ví dụ 1: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt 1 + e^2x .$

Ta hoàn toàn có thể lựa chọn những cách trình diễn sau:Cách 1: Ta có:$fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = frace^ – xdxsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 .$Khi đó:$int f (x)dx$ $ = – int fracdleft( e^ – x ight)sqrt e^ – 2x + 1 $ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 + e^2x $, suy ra:$t^2 = 1 + e^2x$ $ Rightarrow 2tdt = 2e^2xdx$ $ Leftrightarrow dx = fractdtt^2 – 1.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fractdttleft( t^2 – 1 ight) $ $ = int fracdtt^2 – 1 $ $ = frac12ln left| fract – 1t + 1 ight| + C$ $ = frac12ln left| fracsqrt 1 + e^2x – 1sqrt 1 + e^2x + 1 ight| + C.$Cách 3: Đặt $t = e^x$, suy ra $dt = e^xdx.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdttsqrt 1 + t^2 $ $ = int fracdtt^2sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – int fracdleft( frac1t ight)sqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – ln left| frac1t + sqrt frac1t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left( e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight) + C.$Cách 4: Đặt $t = e^ – x$, suy ra:$dt = – e^ – xdx$ $ Leftrightarrow – dt = fracdxe^x.$Khi đó:$int f(x) dx$ $ = int fracdxsqrt 1 + e^2x $ $ = int fracdxsqrt e^2xleft( e^ – 2x + 1 ight) $ $ = int fracdxe^xsqrt e^ – 2x + 1 $ $ = int frac – dtsqrt t^2 + 1 $ $ = – int fracdtsqrt t^2 + 1 $ $ = – ln left| t + sqrt t^2 + 1 ight| + C$ $ = – ln left| e^ – x + sqrt e^ – 2x + 1 ight| + C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1e^x – 4e^ – x.$

Đặt $e^x = t$, suy ra $e^xdx = dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxe^x – 4e^ – x $ $ = int frace^xdxe^2x – 4 $ $ = int fracdtt^2 – 4 $ $ = ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = ln left| frace^x – 2e^x + 2 ight| + C.$

Dạng toán 4: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số mũ với logarit bằng phương thức lấy nguyên hàm từng phần.Chúng ta đã được biết thêm trong phần xác định nguyên sản phẩm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần, so với các dạng nguyên hàm:Dạng 1: Tính: $int e^ax cos (bx)$ hoặc $int e^ax sin (bx)$ với $a,b e 0.$Khi đó ta đặt: $left{ eginarray*20lu = cos (bx)\dv = e^axdxendarray ight.$ hoặc $left{ eginarray*20lu = sin (bx)\dv = e^axdxendarray ight.$Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.

Xem thêm: Giải Toán Hình 12 Chương 1 2, Giải Toán Lớp 12 Chương 1: Khối Đa Diện

Dạng 2: Tính: $int p. (x)e^alpha xdx$ với $alpha in R^*.$Khi đó ta đặt: $left{ eginarray*20lu = P(x)\dv = e^alpha xdxendarray ight.$Ngoài ra cũng rất có thể sử dụng cách thức hằng số bất định.

Ví dụ 1: tìm kiếm nguyên hàm $I = int x ln frac1 – x1 + xdx.$

Đặt $left{ eginarray*20lu = ln frac1 – x1 + x\dv = xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = frac – 11 – x^2dx\v = frac12x^2endarray ight.$Khi đó: $I = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int fracx^22left( 1 – x^2 ight) dx$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + int left( frac12left( 1 – x^2 ight) – frac12 ight) dx + C$ $ = frac12x^2ln frac1 – x1 + x$ $ + frac14ln left| frac1 + x1 – x ight| – frac12x + C.$

Ví dụ 2: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an ^2x + an x + 1 ight)e^x.$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an ^2x + an x + 1 ight) e^x$ $ = int left( an ^2x + 1 ight) e^x + int e^x an xdx$ $(1).$Xét tích phân $J = int e^x an xdx$, đặt:$left{ eginarray*20lu = an x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20ldu = fracdxcos ^2x = left( 1 + an ^2x ight)dx\v = e^xendarray ight.$Khi đó: $J = e^x an x – int left( an ^2x + 1 ight) e^x$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $int f (x)dx = e^x an x + C.$