1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được điện thoại tư vấn là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ví như F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của e mũ x bình

Bạn sẽ xem: Nguyên hàm e mũ x bình

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm tất cả 3 tính chất đặc biệt cần nhớ:


*

*

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng cách thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi đổi thay tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong những số ấy φ(x) là hàm số mà ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = φ"(x)dxBước 3: bộc lộ f(x)dx = gφ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: thể hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dị 1


*

c) Đổi biến dạng 2


*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần


Nguyên tắc chung để tại vị u với dv: tìm được v dễ dàng và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: lắp thêm tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, các chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình vẫn hướng dẫn biện pháp bấm máy tính xách tay nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: thừa nhận shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: dấn phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm lắp thêm tính

Bước 1: Nhập vào laptop casio $fracddxleft( frac12.ln left( 2x + 3 ight ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu đến X = 2 thì các cho hiệu quả là 0. Vậy khi gồm trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất thì mang lại X một giá trị cho biểu thức trong trị hoàn hảo nhất âm.

Xem thêm: Toán Lớp 5 Trang 24 Bài 3 - Đáp Án Bài 3 Trang 24 Sách Giáo Khoa Toán Lớp 5

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Cách 2: Sử dụng cách thức hệ số bất định, triển khai theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong những số ấy $A(x)$ cùng $B(x)$ là những đa thức thuộc bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số biến động ta xác định được $A(x)$ với $B(x).$

Nhận xét: nếu bậc của đa thức lớn hơn $3$ thì phương pháp 1 trầm trồ cồng kềnh, vì khi ấy ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, cho nên vì vậy ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ tuổi hơn hoặc bằng $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của đa thức to hơn hoặc bằng $3$: Ta sử dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo nhận xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = cosx$$ – sin x$ $(2).$

Đồng tuyệt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$