Phương trình lôgarit là phương trình gồm chứa ẩn số vào biểu thức dưới dấu lôgarit.

Bạn đang xem: Cách làm bài tập logarit

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Các bước giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

* cách 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* bước 2. áp dụng định nghĩa cùng các đặc thù của lôgarit để đưa các lôgarit xuất hiện trong phương trình về cùng cơ số.

* cách 3.Biến thay đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bạn dạng đã biết cách giải.

* cách 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1: Tính các giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;2.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa


Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x vào hệ phương trình nhằm thu được phương trình ẩn t, giải pt này tìm t, từ kia tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).

• bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã hiểu cách thức giải.

•Bước 4: ráng vào (*) nhằm tìm x.

Một số lưu ý quan trọng khi trở nên đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: áp dụng tính solo điệu nhằm giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình bao gồm dạng f(x) = g(x) (*)

• cách 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

• cách 2: Xét những hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần minh chứng một hàm đồng biến đổi và một hàm nghịch biến hoặc một hàm 1-1 điệu và một hàm ko đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau trên một điểm duy nhất gồm hoành độ x0. Đó chính là nghiệm tuyệt nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

• cách 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm sát bên 0).

• bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng tỏ f"(x) = 0 bao gồm nghiệm duy nhất và f"(x) đổi dấu khi trải qua nghiệm đó. Từ phía trên suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất nhì nghiệm.

Hoặc:

• bước 1: biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• cách 2: minh chứng hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình gồm một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, phải f(x) đồng thay đổi trên tập khẳng định ;g(x)=2là hàm hằng. Buộc phải phương trình sẽ cho gồm một nghiệm tuyệt nhất x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng biến đổi trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Yêu cầu phương trình đang cho có một nghiệm nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f"(t) > 0 buộc phải hàm số đồng đổi mới trên tập xác định. Lúc đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình sẽ cho gồm tập nghiệm là 1;2

Dạng 5: bí quyết giải phương trình logarit đựng tham số

♦ Dạng toán tra cứu m để phương trình có số nghiệm mang đến trước:

• bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và gửi về dạng f(x)=A(m).

• cách 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

• bước 3. Dựa vào bảng biến thiên nhằm xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• bước 4. Kết luận những giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc bao gồm k nghiệm) bên trên D.

♦ lưu giữ ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá chỉ trị lớn số 1 và giá chỉ trị nhỏ dại nhất bên trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định làm sao để cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với xem xét sau.

♦ nói lại: Phương trình bậc hai gồm hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc thực hiện định lí hòn đảo về lốt tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tham số thực m nhằm phương trình: log23 x+log3x+m = 0 có nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Lúc ấy phương trình trở thành t2+t+m=0 (*)

Phương trình đã cho bao gồm nghiệm khi phương trình (*) tất cả nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Soạn Bài Thơ Lục Vân Tiên Cứu Kiều Nguyệt Nga Ngữ Văn 9, Soạn Bài: Lục Vân Tiên Cứu Kiều Nguyệt Nga

Ví dụ 2: Tìm tham số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.