Nguyên hàm là trong số những chuyên đề quan trọng của Giải tích Toán 12 và thường xuất hiện thêm nhiều trong số kì thi đại học. Vậy có những công thức nguyên hàm đặc biệt quan trọng nào bắt buộc nhớ? Team 91neg.com Education để giúp đỡ các em giải đáp và tìm hiểu rõ hơn về bảng cách làm nguyên hàm từ cơ bạn dạng đến nâng cao và phương thức giải bài xích tập nguyên hàm phổ biến qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Các công thức nguyên hàm cần nhớ


học tập livestream trực con đường Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh cải tiến vượt bậc điểm số 2022 – 2023 tại 91neg.com Education

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào khám phá công thức về nguyên hàm, những em cần nắm rõ khái niệm nguyên hàm tương tự như các đặc điểm và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác minh trên K, lúc này hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ví như F’(x) = f(x) (với những x ∊ K, K rất có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:


Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

Định lý 1: trả sử F(x) là 1 trong nguyên hàm của f(x) bên trên K. Lúc đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong những nguyên hàm của f(x).Định lý 2: trên K, nếu F(x) là 1 trong nguyên hàm của hàm số f(x) thì hồ hết nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, cùng với C là 1 hằng số tùy ý.Định lý 3: trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tục đều phải có nguyên hàm.

Tính chất nguyên hàm

3 tính chất cơ bản của nguyên hàm được biểu đạt như sau:


eginaligned&footnotesizeull extNếu f(x) là hàm số bao gồm nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)"=f(x) extvà \ &footnotesizesmallint f"(x)dx=f(x) +C.\&footnotesizeull extNếu F(x) có đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\&footnotesizeull extTích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\&footnotesizeull extTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint =smallint f(x)dxpm smallint g(x)dxendaligned

Bảng phương pháp nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều phải có những công thức riêng. Những bí quyết này đã làm được tổng phù hợp thành những bảng sau đây để những em dễ dàng phân loại, ghi nhớ và vận dụng chính xác.


*

*

*

*

2 cách thức giải bài bác tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi biến chuyển số

Đây là cách thức được sử dụng rất nhiều lúc giải nguyên hàm. Do vậy, các em rất cần phải nắm vững phương pháp này nhằm giải những bài toán nguyên hàm cấp tốc và đúng chuẩn hơn.

Phương pháp đổi biến hóa loại 1:

Cho hàm số u = u(x) tất cả đạo hàm tiếp tục trên K, y = f(u) thường xuyên để f khẳng định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫fu"(x)dx = F + C

Cách giải:

Đầu tiên, chọn t = φ(x) cùng tính vi phân hai vế: dt = φ"(t)dt.

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài xích cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là 1 trong hàm số xác định, liên tiếp trên K và bao gồm đạo hàm là φ"(t). Dịp này:

∫f(x)dx = ∫f<φ(t)>.φ"(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ"(t)dt.

Thực hiện phát triển thành đổi: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) cùng v(x) tất cả đạo hàm liên tiếp trên K thì:


small smallint u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u"(x)dx exthay smallint udv=uv-smallint vdu\ ( extvới du=u"(x)dx, dv=v"(x)dx)
Cách giải:

Trước hết, những em cần chuyển đổi tích phân đầu tiên về dạng:


I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:


egincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcasesimplies egincasesdu=f"_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases
Lúc này thì những em đang có:


smallint udv=uv-smallint vdu
Tùy thuộc vào từng dạng toán ví dụ mà các em áp dụng phương thức sao cho phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường xuyên gặp

Dạng 1:


*

Dạng 2:


Dạng 3:


Bài tập về công thức nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) bên trên một khoảng.

b. Phương thức tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra lấy một ví dụ minh họa cho phương pháp tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài bác tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập xác định D.

Hàm số Y = F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D khi Y = F(x) thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại F"(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: Soạn Bài Thơ Lượm Lớp 2 Tuần 33, Tập Đọc Lớp 2: Lượm

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được có mang như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) với v = v(x) bao gồm đạo hàm thường xuyên trên D, khi ấy ta gồm công thức: