Về văn bản hàm số, quanh đó khảo sát và vẽ đồ vật thị của hàm số còn có nhiều dạng toán tương quan đến trang bị thị của hàm số, bọn họ sẽ cùng ôn tập lại những dạng toán này nhé.

Bạn đang xem: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số


Các dạng toán tương quan đến thiết bị thị hàm số như tìm và biện luận số giao điểm của 2 đồ gia dụng thị hàm số, Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị, phương trình tiếp con đường của vật thị đòi hỏi sự áp dụng linh hoạt của những em, dưới đấy là một số dạng toán cơ bản.

* Cơ bản có 3 dạng toán liên quan tới khảo sát hàm số là:

Dạng 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường

- Dạng 2: Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình

- Dạng 3: Tìm phương trình tiếp đường của trang bị thị

Bài toán 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường

_ phương thức chung:

+ Trong mặt phẳng (Oxy) hãy xét sự tương giao của vật dụng thị nhị hàm số: y = f(x) có đồ thị (C1) với y = g(x) tất cả đồ thị (C2).

+ Số giao điểm của (C1) với (C2) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x)= g(x) (1). Khi đó,bài toán quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1). Thông thường :

- giả dụ (1) là phương trình trùng phương thì quy về phương trình bậc 2

- nếu (1) là phương trình bậc 3 hoặc bậc cao thì ta có thể hướng đến

_ Nếu xa lánh được m chuyển (1) thành: F(x) = h(m) thì bài toán quy về điều tra hàm số y=F(x)

_ trường hợp phương trình tất cả nghiệm x=x0 thì đưa (1) thành: (x − x0)h(x,m) = 0 và liên tiếp biện luận với phương trình h(x,m)=0

 Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m + 1) x4 − 4x2 + 1 (C). Kiếm tìm m nhằm (C) cắt trục hoành tại:

a) Ít tuyệt nhất một điểm

b) tư điểm phân biệt

* Lời giải: 

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) cùng trục hoàng là nghiệm của phương trình:

(m + 1) x4 − 4x2 + 1 = 0 (1)

Đặt t= x2, t≥0 phương trình trở thành

(m + 1) t2 − 4t + 1 = 0 (2)

a) Đồ thị (C) giảm trục hoành tại tối thiểu một điểm khi còn chỉ khi phương trình (1) cónghiệm phương trình (2) tất cả nghiệm ko âm.

Với m=-1 , phương trình (2) đổi mới −4t + 1 = 0 ⇔ t = (1/4) > 0(thỏa mãn)

Với m ≠ -1 thì phương trình (2) là phương trình bậc 2, ta xét tía trường đúng theo sau:

- Trường vừa lòng 1 : (2) tất cả hai nghiệm không âm:

*

- Trường đúng theo 2 : phương trình (2) gồm hai nghiệm trái dấu: khi còn chỉ khi p 1/(m+1) m phương trình (1) có 4 nghiệm không giống 0 phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt_ với m= -1 thường thấy không vừa lòng (Phương trình (2) chỉ có 1 nghiệm dương)

_ Với m ≠ -1 thì phương trình (2) là phương trình bậc 2

Phương trình (2) bao gồm hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

*

*

Kết luận: Vậy cùng với -1Bài toán 2: Biện luận bởi đồ thị số nghiệm của phương trình:

- cho phương trình F(x, m) = 0 (*)

- biến hóa phương trình về dạng: f(x) = g(m).

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C ): y = f(x) và con đường thẳng (d): y = g(m) (d là mặt đường thẳng cùng phương Ox)

- nhờ vào đồ thị để biện luận.

 Ví dụ 2: Cho hàm số y=(2x-3)/(x-1) gồm đồ thị hàm số (H). Tìm kiếm m để mặt đường thẳng d: x+3y+m=0 giảm (H) tại hai điểm M, N làm sao để cho tam giác AMN vuông tại điểm A(1;0)

* Lời giải: Ta gồm d: y=(-1/3)x-(m/3)

Hoành độ giao điểm của d cùng (H) là nghiệm của phương trình:

*

Để (H) giảm d tại nhị điểm khác nhau thì:

*

Ta thấy hệ trên đúng với mọi m.

Do đó d luôn cắt (H) trên 2 điểm rành mạch M(x1,y1); N(x2,y2) ta có:

*

Áp dụng định lý Viet, ta có: x1+x2=-m-5; x1x2= -m-9

Thay vào (2) ta được : 10 (−m − 9) + (m − 9) (−m − 5) + m2 + 9 = 0 −6m − 36 = 0 m=-6

Kết luận: m=-6 là giá chỉ trị bắt buộc tìm

Bài toán 3: Phương trình tiếp đường của đồ vật thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) tất cả đồ thị (C)

+ thông số góc của tiếp đường với (C) tại điểm M(x0; y0) Î (C) là : k = y’(x0)

+ PT tiếp tuyến đường của (C) trên điểm M(x0,y0) (C ) tất cả dạng: y = f’(x0)(x-x0)+ y0

* Chú ý: 

+ Tiếp tuyến tuy vậy song cùng với (d): y = ax + b có thông số góc k = a.

+ Tiếp con đường vuông góc cùng với (d): y = ax + b có thông số góc k = -1/a

- một vài ví dụ viết phương trình tiếp tuyến đường của đồ thị hàm số sau:

 Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3–6x2+9x">y=x3 – 6x2 + 9x có đồ vật thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến đường tại điểm M(2,2) ∈(C).

* Lời giải: Ta bao gồm y"=3x2 - 12x + 0 với x=2 thì y"(2)=-3

Phương trình tiếp tuyến với đồ vật thị (C) tại điểm A(2,2) là: y = (-3)(x-2)+2 = -3x+8

 Ví dụ 4: mang lại hàm số y=x3 + 3x2 - 1 gồm đồ thi (C). Viết phương trình tiếp tuyến đường của vật thị (C) tại điểm gồm hoành độ là -1.

Lời giải: Ta có hoành độ tiếp điểm x = -2 thì y =1 cùng y" = 2x2 + 6x ⇒ y"(-1)=-3

Phương trình tiếp đường của đồ dùng thị hàm số tại (-1,1) là y = (-3)(x+1) + 1 = -3x - 2

 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thì (C). Viết phương trình tiếp đường đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3.

Xem thêm: Công Thức Tính Hình Trụ, Diện Tích Xung Quanh Và Toàn Phần Hình Trụ Tròn

* Lời giải: Ta tất cả y" = 3x2-6x

Tìm tọa độ tiếp điểm: y"=k ⇔ 3x2 - 6x = -3 ⇔ x = 1 ⇒ y = -2

Phương trình tiếp tuyến tại (1,-2) có thông số góc k=-3 gồm dạng: y=(-3)(x-1)-2 = -3x + 1

Hy vọng bài viết về các dạng toán liên quan điều tra hàm số làm việc trên hữu dụng với những em, mọi thắc mắc về câu chữ của hàm số, các em hãy để lại bình luận để được hỗ trợ, chúc những em học hành đạt hiệu quả tốt.